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1. 들어가기

교사를 시작한지 10년째, 최근 2년간 수업에 대한 생각에 많은 변화가 있었다. 매년 학생들에게 수학을 가르치면서 수업시간에 떠드는 학생, 잠을 자는 학생, 자기 혼자 공부하는 학생들을 지적하고 혼내고 달래면서 그 책임을 학생들에게 돌렸었다. 그리고 그런 학생들이 없는 조용한 수업은 잘된 수업이라 생각했었다. 하지만 그건 나만의 생각인 것 같았고 학생들이 나의 수업시간에 수학을 배웠는지 수학에 대해 생각했는지 알 수 없었고 실제 많은 학생들은 그렇지 않은 것 같았다. 단순한 지식 전달의 수업은 학생들이 수학을 하게 하는데 한계가 있다고 생각하고 수업을 바꾸기 위해 노력하기 시작했다. 학생들이 나를 봐주기를 바란 것이 아니라 학생들 서로를 볼 수 있게 하고 수업을 듣는 것이 아니라 수학을 체험하게 만들고자 노력했다. 내가 선택한 변화의 방향은 학생들이 참여할 수 있는 수업을 계획하는 것이었다. 일반계 고등학교에서는 수학을 싫어하고 포기하는 수포자가 많고 우리학교의 경우 많게는 한 반에 25%가 넘었다. 자칫 잘못하면 아수라장이 될 수 있다는 두려움을 갖고 시작했지만 가만히 앉아 아무것도 안하는 것보다 낫다는 생각에 용기 내어 시작했다. 지금부터 2015년 1년간의 내가 시행착오를 겪으며 했던 수업, 독서활동에 대해 이야기 해보겠다.

2. 1학기, 수학I, 참여수업

1) 수학에 대한 학생들의 생각, 수학나무
학생들이 어떻게 수학을 생각하고 있는지 정의적인 측면을 보기 위해 1차시 수학나무를 만들어 보기로 하였다. A1사이즈 종이에 나뭇가지를 그리고 학생들에게 포스트잇을 나누어주고 ‘당신이 생각하는 수학, 수학에 대한 느낌은 무엇인가요?’라는 질문에 답을 적게 하였다.

결과는 부정적인 글이 긍정적인 글보다 월등히 많았고 아주 가끔 긍정적인 글도 보였다. 이런 학생들의 수학에 대한 이미지가 왜 생겼는지 물어보고 수용하면서 학생들이 지루해하지 않을 수학적 퀴즈로 첫 수학시간을 열었다

2) 다항식 토너먼트
다항식의 곱셈을 배우면서 4인 1조 모둠(멘티-멘토 2쌍)을 만들어 멘토 학생이 멘티 학생에게 도움을 주어 수업 내용을 이해할 수 있게 함. 다항식의 곱셈에 관한 내용을 학습한 후 모둠별로 토너먼트 게임을 한다.
준비물 : 문제지를 담을 수 있는 통 2개(기본, 심화), 기본, 심화 문제지 각 20문항, 종(교탁위)
✜ 수업 진행 방법 - 교사는 모둠별로 토너먼트 표를 작성하고 각 모둠원은 출전할 순서를 정한다.(멘티, 멘토 학생이 번갈아 출전하며 두 번 출전하지는 못한다.)
- 토너먼트경기 시 멘토 학생은 심화문제, 멘티 학생은 기본문제를 뽑아 풀게 하며 먼저 해결한 학생이 교탁위의 종을 울린다. 종이 울려도 나머지 학생은 문제를 끝까지 해결한다.
- 나머지 학생들은 경기에 일절 관여할 수 없어 관여할 경우 경고를 준다.
- 우승의 기준은 1. 정확성, 2. 신속함을 우선 순위로 한다.

✜ 수업분석, 반성
- 학생들은 자신이 경기하는 것에는 두려움을 느끼지만 남들이 경기하는 것은 관심을 가지고 지켜본다. 그러므로 자연스럽게 정답인지 오답인지 관심을 갖게 되고 그 과정에서 문제를 해결하려는 욕구를 가지게 된다.
- 게임에서 우승하기 위해서는 모든 학생들이 제 역할을 해야 하므로 다른 학생이 푸는 과정을 유심히 지켜보며 질문을 학생을 발견할 수 있었다.
- 이렇게 학생들이 문제풀이에 관심을 가지게 하고 다음 과제를 제시한다.

3) 모둠의 아이디어 모음
모둠의 아디이어 모음은 문제풀이를 한 학생들이 서로의 다양한 아이디어를 수집하는 데 목적이 있다. 모둠학생들이 이야기를 나누며 문제풀이를 어떻게 했는지 이야기를 나누어 보고 활동지를 작성하게 한다. 이 활동은 중단원 평가 시 사용하였다.

✜ 수업분석, 반성
- 학생들이 같은 결과를 얻더라도 풀이에 차이가 있음을 인지하고 어느 방법이 맞는 건지 질문하는 학생들이 있었다. 둘 다 맞는 방법임에도 학생들은 옳은 두 가지 방법을 인정하는데 어색함을 느끼는 것 같았다.
- 모둠수업의 장점은 서로에게 배울 수 있는 것이다. 하지만 학생들이 모둠수업을 하면서 불만이 대체적으로 많았다. 학습능력이 우수한 멘토 학생들은 이해하지 못하는 멘티 학생을 가르치는 것이 힘들어 했고 멘티 학생들은 자기를 이해시키지 못하는 멘토 학생들에게 무능력하다고 불만을 터트렸다. 하지만 반 강제적으로 수업을 진행하였다.
4) 다항식 대수막대
다항식의 계산은 대수적인 상황이므로 이를 넓이 개념과 연결시켜 보고자 교과서에 제시되어 있는 대수막대를 이용한 활동을 해보았다. 먼저 ‘proofs without words(로제 넬슨)’를 참고하여 다항식의 곱셈을 넓이를 통해 이해하는 과정을 학습한 후 모둠별로 스티로폼 대수막대를 나누어 주고 ppt를 통해 문제를 제시하고 이를 대수막대로 표현하게 하였다. 수업을 계획할 때 ‘너무 쉽지 않을까?’ 고민했었는데 예상과 달리 학생들은 대수막대를 이용하여 표현하는 것을 너무 어려워했다.

✜ 수업분석, 반성
- 제시된 문제를 대수막대로 표현했을 때 모둠의 학생들에게 설명해보게 하면 학생들은 어려움을 느낀다. 표현이 서툴러서 그럴 수도 있지만 교사가 보기에는 의미 없이 단순히 나열했기 때문에 설명하지 못한 것으로 보였다. 가로와 세로, 넓이에 대해 계속 질문하다 보면 학생들은 막대의 가로, 세로, 넓이에서 의미를 찾고 올바르게 수정해간다.
5) 인수분해 빙고
인수분해를 학습하면서 학생들은 자신이 기억했던 공식 또는 직관력에 의하여 문제를 해결하는 모습을 볼 수 있었다. 그래서 그날의 컨디션에 따라서 어제 해결했던 문제도 오늘은 해결하지 못하는 모습을 보면서 다항식의 인수분해를 접근하는 방법을 알게 해주고 싶어 활동을 계획하였다.
✜ 준비
- 학급은 2쌍의 멘티-멘토가 한 모둠(4명)이 되도록 편성한다
- 한 장의 문제지를 주고 문제지 안에 나와 있는 식들을 인수분해 하도록 한다
- 문제지에는 8문제가 있으며 이 문제를 인수분해 하고 인수들을 적게 한다.곱셈공식, 내림차순, 치환, 변형, 조립제법, 인수정리의 키워드를 주고 각 문제의 인수분해 과정에 연관되는 단어를 생각하며 인수분해 하도록 한다.
- 모둠 별 한 명 씩 일어서 인수를 이야기하는 방식으로 빙고를 진행한다.
- 3줄을 완성하는 학생이 2명 이상 되는 모둠을 1등으로 한다.

✜ 수업분석, 반성
- 인수분해를 하는 과정이 곱셈공식, 내림차순, 치환, 변형, 조립제법, 인수정리의 키워드와 연관되어 이루어져 진행됨을 인지하게 된다.
- 인수분해 할 때 막히는 부분이 생기면 키워드의 방법을 차례로 시도하는 학생을 볼 수 있었다. - 처음 활동지의 문제들이 어려워 수업진행에 어려움이 있었다. 또는 인수분해 과정에서 너무 오랜 시간이 걸려 빙고 게임 중 수업이 끝나는 경우가 있었다. 그래서 수준별 문제를 제시하여 학생들이 더 흥미를 느낄 수 있도록 활동지를 제시하였다.
6) 7인 7제 릴레이
형성평가를 통해 개념정리 및 문제해결력을 길러줄 때 학생들은 시험, 과제라는 부담감을 느끼고 때로는 계속되는 문제풀이에 따분해한다. 열심히 하는 학생만 열심히 하고 관심이 없는 학생들 은 관람하는 모습을 보고 싶지 않았다. ‘모든 학생들이 즐겁고 약간의 긴장감으로 기억에 남을 만한 수업을 할 수는 없을 까’하는 생각으로 경기 형태의 문제풀이 방법을 생각해 보았다.

✜ 준비
- 학급의 인원(28명)을 성적을 고려하여 7명씩 4모둠으로 나눈다. 기존의 형성평가, 과제들을 참고하여 각 모둠에 성적이 비슷한 학생들을 고르게 분포하며 성적이 낮은 학생부터 높은 학생 순으로 번호(1~7)을 부여한다. 인원이 정확하게 나누어지지 않는 경우는 한 학생에게 두 가지 번호를 부여한다. 두 번의 번호를 부여받은 학생은 하나는 자신의 실력보다 낮은 하나는 실력보다 높은 번호를 부여하여 게임의 형평성을 최대한 고려한다.
- 교실은 그림과 같이 한다.
- 게임룰은 다음과 같다

• ① 교사가 종을 치면 각 번호의 학생들은 동시에 나와 문제를 풀게 한다. 문제를 푸는 시간은 30초로 제한하고 30초 후 종을 치면 자신의 문제를 뒤집어 놓고 들어간다. 그리고 다시 종을 쳐 다른 학생이 나오게 한다. 학생들은 자신의 문제만 풀 수 있고 나올 때 펜만 가지고 올 수 있다.
• ② 문제를 풀지 않는 학생은 같은 모둠끼리 모여 문제를 의논할 수 있다.
• ③ 문제를 모두 푼 학생은 교탁위에 제출하며 그 다음부터는 해결하지 못한 학생들만 나와 문제를 푼다. 1~7번 모두 해결한 모둠 순서로 100점, 90점, 80점, 70점을 부여하고 제한시간 20분까지 해결하지 못한 모둠은 순서에 맞는 공동점수를 부여한다.
• ④ 모둠별로 문제지를 바꾸고 교사는 간단한 풀이를 하며 학생들은 채점을 한다. 수학적 기호의 오류까지 꼼꼼히 채점하며 문제에 요구조건을 모두 답하지 못한 풀이는 틀린 것으로 한다. 한 문제가 틀릴 때 마다 3점을 감점하며 채점이 끝나면 자신의 문제지를 돌려받고 틀린 것을 확인한다.
• ⑤ 최종 1등, 2등 팀에게 보상이 있다.

✜ 수업분석, 반성
- 이 수업에 중요한 요점은 학생들이 문제를 해결하고자 하는 욕구를 가지게 하는 것이다. 게임을 이기기 위해 문제를 해결해야하고 문제를 해결하기 위해 다른 학생에게 물어서라도 해결하게 하는 것을 원했다. 나의 예상대로 학생들은 자기 모둠 학생들을 알려주기 시작했고 특히 전혀 문제를 풀지 못하는 학생에게 도움을 주기 시작했다.
7)¡와 함께하는 북콘서트
수학은 교과서에 있고 시험을 잘 보기위한 과목이라는 생각이 강한 학생들에게 수학도 변화하고 정해진 것이라는 이야기해주고 싶었다. 그래서 복소수를 도입하면서 단순히 정의하고 시작하기 보다는 복소수가 나타나기까지의 과정을 책으로 읽고 이를 이야기 나누어보는 것이 좋겠다는 생각을 하고 ‘두근두근 수학 공감(권오남 외 7명)’을 통한 수업을 준비했다.

✜ 준비
- 1차시에는 책에서 복소수와 관련된 부분을 발췌하여 학생들에게 읽게 한다.
- ‘¡와 함께하는 북콘서트 준비자료’를 나누어 주어 완성하도록 한다.
- 2차시에는 교사가 사회자가 되어서 복소수에 대해서 이야기를 나누어본다. 가이드라인을 정하여 학생들이 자연스럽게 결론지어질 수 있도록 질문을 던져준다.
- 질문하는 과정에서 학생들이 이해하지 못하는 내용(교육과정 외)이 나오면 간단한 설명과 함께 넘어가고 역사적 흐름에 초점을 맞춘다.

✜ 수업분석, 반성 - ‘학생들이 재미있어 할 것 같아!’라고 생각한 나와 달리 이 책이 수학과 관련된 책이라는 것을 알고 학생들은 실망하는 모습을 보였다. 하지만 책을 끝까지 성의 있게 읽은 학생들은 모르는 부분에 밑줄을 그으며 궁금해 하기도 하고 질문하기도 하였고 활동지를 성의 있게 작성하였다. 이런 학생들을 보면서 ‘수업시간에 수학 관련 책들을 소개하면 관심을 가지는 학생들이 생길 것 같다’는 생각을 가지게 되었다. - ‘ 만 알면 되지 않느냐’ 라고 되묻는 학생도 있었지만 독서를 하는 동안 고개를 끄덕이며 제법 진지하게 읽는 학생들에게서 독서를 통한 수학수업에 희망을 보았다. 8) 부등식의 영역
(1) 위? 아래? 부등식 영역
부등식의 영역을 구분하는 과정을 더 재미있게 학습하고자 모션과 함께 문제를 해결하게 하였다.
✜ 준비
- 위, 아래의 모션을 각각 정하고 PPT로 문제를 제시하여 모션으로 답을 하게 한다.(단순하게는 위는 일어서고 아래는 앉는 반, EXID의 위아래 춤으로 위와 아래로 모션을 주는 반 등 다양한다.)

✜ 수업분석, 반성
- 수업이 진행되는 동안 학생들은 부등식 문제에 대한 좌표평면의 올바른 영역을 찾을 수 있게 되었다. 물론 눈치보고 따라하는 학생들도 있었으나 부등식의 방향에 따라 위, 아래를 구분할 수 있었다.
- 등호가 들어간 부등식 문제는 없이 사용하여 학생들에게 따로 등호가 있는 경우 다시 한 번 강조해야했고 단순히 여역을 구분하는 연습을 하여 학생들이 제대로 이해하고 문제를 해결하였는지 확인할 수 없었다.
(2) 영역을 찾아라
3개 이하의 연립부등식을 사용하여 태극을 부등식의 영역으로 표현하게 한다.

✜ 수업분석, 반성
- 학생들이 가져오는 답안을 바로 geogebra를 이용하여 확인시켜주어 수정할 수 있게 하였다. 대략적인 태극 모양을 맞춘 모둠은 있었으나 경계선까지 정확하게 표현하지 못하는 것을 확인할 수 있었고 이에 피드백을 하면서 경계에 대한 표현을 정확하게 하였다.

3. 쉼표, 물음표

1학기 수업 동안 학생들을 참여시키기 위해 여러 가지 수업을 고민하고 시행착오를 겪으면서 수업을 계획하는데 조심해야할 점이 무엇인지 알게 되었다. 계획한 수업을 시뮬레이션을 통해 생각한 방향으로 수업이 흘러갈 것인가를 잘 예상해야 하는데 여기서 학생들의 반응이 어떨지, 규칙들을 잘 이해할 수 있는지, 변수는 없는지를 잘 따져보아야 하고 이 중 하나만 예상과 달라도 수업의 효과가 떨어지는 것을 경험했다. 이렇게 한 학기동안 여러 참여수업을 하면서 새로운 고민이 생겨났다. 학생들을 독려하며 참여시켜도 ‘실제적인 수학적 능력이 향상되는 것인가?’ 에 대한 대답은 할 수 없었다. 참여수업을 할 때 전보다 자는 학생이 없어졌고 활동적인 수업이 되었지만 수학수업에서 수학적 능력이 향상이 의심된다는 것은 핵심을 잃어버리는 것과 같기 때문에 간과할 수 없었다. 또 내용 설명을 위해 강의식 수업을 할 때 학생들은 다시 예전의 상태로 돌아가곤 했다. 여러 가지 요인을 분석하면서 내가 내린 결론은 자기 주도적 학습이 이루어지지 않는다는 것이었다. 수학에 대한 흥미와 의욕이 없으니 수업 외에는 학습을 하지 않고 수업시간에는 수동적으로 내용을 전달 받는 자세로 학습을 하여 수학에 대해 궁금한 것이 전혀 없는 그런 학생이 많다는 것이다. 이런 상황에서는 참여수업의 효과는 크게 기대할 수 없다고 생각했다. 해결책이 필요했다.

4. 2학기, 수학Ⅱ, 참여수업과 자기주도적 학습

1) 관찰, 면접평가와 거꾸로 수업(flipped learning)
1학기 중 어느 포럼장에서 관찰 및 면접 중심의 대안평가에 대해 알게 되었고 이를 연구하신 선생님께 부탁해 관련 자료를 받아볼 수 있었다. 관찰, 면접평가는 2012년 교육과학기술부와 한국과학창의재단에서 연구한 내용으로 이를 활용하여 학생들의 인지과정을 체크리스트와 면접(면담)을 통하여 파악하고 이를 즉각적으로 피드백 하고자 하였다.

이렇게 실제적으로 학생들에게 다가가기 위해선 우선 충분히 관찰할 수 있는 교실환경이 마련되어있어야 한다. 이런 교실의 환경은 여름방학 직무연수에서 거꾸로 수업에 대한 강의를 들으며 거꾸로 수업이 학생들의 자기 주도적 수업환경을 만들어줄 수 있다는 점에 나의 수업에 거꾸로 수업을 시도해보기로 하였다.
2학기 초 학생들에게 거꾸로 수업에 대해 설명하고 교사의 블로그 주소를 알려주었다. 강의 영상을 매일 하나씩 듣게 하고 들은 영상에는 댓글을 달아 자신이 들었다는 것을 남기게 하였다. 또 수업 중 관찰 평가를 통하여 수행평가가 반영됨을 주지시키고 수업에 적극적으로 참여할 것을 독려하였다. 인터넷 접근성이 좋지 않은 학생은 USB를 통해 강의를 학생들의 휴대폰에 담아 주어 강의를 듣도록 하였다.
2) 기본적인 수업 구성
모둠을 구성하고 모둠원 중 1명은 이끔이 역할을 맡게 한다. 여기서 이끔이는 수학적 능력이 가장 뛰어난 학생을 선정하여 학생들의 문제해결에 어려움이 있을 때 도움을 줄 수 있게 한다. 1학기 멘티-멘토 짝을 지어주었더니 멘토 학생에게 너무 의존적으로 행동하고 나를 가르쳐야하는 학생으로 생각하여 멘토, 멘티 모두에게 부정적인 영향을 주는 것 같아 특별히 짝을 지어주지 않고 모둠별 1명의 이끔이만 정한 것이다. 이끔이 친구들에게는 학생들에게 도움을 줄 때 힌트만 제시하도록 하여 학습에 도움은 주되 해결해주지는 않도록 하였다. 강의영상을 보고 온 학생들은 활동지를 해결하는 것을 기본적인 목표로 한다. 학습지의 구성은 교과서를 참고하여 관련 내용정리, 단계적 문제해결을 기본으로 하고 활동지는 교사가 선정한 5권의 교과서에서 좋은 설명, 그림, 문제들을 선정하여 제작하였다.

학생들이 과제를 해결하는 과정에서 많은 질문들이 오가고 그 속에서 교사는 학생들의 수학에 대한 호기심, 적극성 등 정의적인 영역, 활동지를 제작하면서 고려한 인지적 측면을 확인한다. 수업시간이 끝나면 학생들의 활동지를 걷어 채점하며 학습상태, 오류 등을 파악하여 다음시간 시작할 때 피드백한다.

거꾸로 수업으로 인하여 수업시간은 온전히 학생들 자신의 시간으로 바뀌었고 예전보다 다소 소란스러워졌지만 그 소란이 수학하는 중에 일어나는 소음이라 생각하니 싫지 않았다. 물론 그 중에는 잠을 자거나 학생들의 활동을 방해하는 학생들이 있었다. 이런 학생들은 쉬는 시간에 불러 상담하며 면접기록지에 기록하여 누적 관리하는 적극적인 조치를 취하였고 점차 변화하는 것을 볼 수 있었다. (면접기록지는 학생들의 수학에 대한 생각, 사고과정 등을 면접(면담)을 통해 살펴보는 것으로 나는 수학에 대한 부정적인 학생들을 상담하는 데 주로 사용하게 되었다.)
이런 수업을 바탕으로 하고 1학기처럼 여러 가지 참여수업을 계획하였다.
3) 집합, 할리갈리 플래시 카드
집합은 그 개념의 이해가 중요하다. 하지만 학생들은 집합의 개념을 잘 기억하지 못하는 경우가 많다. 그래서 할리갈리 게임을 변형하여 집합의 개념을 기억하게 하였다.(우리 학교 역사 선생님께서 플래시 카드를 이용하여 교과내용을 학습하는 것을 보고 수학에도 적용해 보았고 즐겁게 게임으로 활용하고자 할리갈리 게임에 적용했다.)

✜ 수업 분석, 반성
- 학생들은 집합의 개념을 거의 다 기억하였다. 특히 기초학력이 부진한 학생들에게 그 효과가 큰 것을 볼 수 있었다. 기초학력 부진 학생에게 따로 카드 한 세트를 주고 한 장씩 뒤집으며 기억하게 하고 기억하지 못한 카드를 남겨 외우게 하니 금세 기억하였다. 물론 기억하는 것이 응용할 수 있다는 것을 의미하는 것은 아니지만 이 학생들에게 큰 발전인 것은 틀림없었다.
4) 발표로 확인하기
학생들이 수업시간에 자기주도학습을 하면서 수학적 의사소통에 문제가 있으며 이를 발표를 통하여 수정하고자 하였다. 모든 학생은 1회 발표한다는 원칙을 두고 활동지의 내용 중 오개념, 증명, 심화 문제의 경우 발표를 하게 했다. 발표만 하는 것보다 동료에게 평가를 받아 자신을 돌아보는 과정이 필요하다고 판단되어 동료평가 하고 평가 결과를 정리하여 학생들에게 전달하여 피드백하였다.

✜ 수업분석, 반성
- 단순히 발표를 시키는 것에서 끝나는 것이 아니라 발표할 문제를 미리 정하여 발표할 방법을 교사에게 따로 확인받게 하였다. 확인을 하면서 나가서 혼자 말하고 들어오는 것이 아니라 학생들이 잘 이해할 수 있는 설명법을 찾아오게 독려하여 발표자, 발표를 듣는 학생에게 모두 도움이 되도록 하였다. 물론 확인을 받지 않는 학생도 있었는데 이런 학생은 동료평가에서 나쁜 점수를 받는 경우가 많았다.
5) 함수, 문제 만들고 개념 완성하기
(1) 문제 만들기
함수에 관련된 문제를 직접 만들어 보고 그 문제를 다른 모둠에게 풀게 하였다. 다양한 예시를 직접 생각해보게 하고 그 중에 함수의 개념을 조금 더 깊게 이해하도록 수업을 준비하였다. 또한 학생들이 만든 문제를 통하여 학생들의 이해도, 오개념 등을 확인할 수 있었다.

(2) 함수 개념이해하기(function of functions)
문제 만들기에 학생들이 만든 함수들을 모두 수집(3개 반)하고 16개를 선별하여 1~16번, 16개의 예시를 구분하고 다시 함수를 만들어 보는 수업을 준비하였다.

✜ 수업분석, 반성
- 활동하는 과정에서 함수의 정의를 사용하여 함수의 여부, 분류를 하며 함수를 이해할 수 있었다. - 1~16번을 다시 함수로 표현하는 활동에서 함수가 다시 함수로 표현된다는 것에 어색해하면서도 신기해하였다. 함수가 대응관계이며 어디에든 적용할 수 있다는 것을 알려주었다.
6) 문제해결 부스 운영
문제해결에 어려움을 느끼는 학생이 많고 때로는 교사의 풀이보다 학생들의 풀이가 더 효과적이라는 생각에 문제해결 부스를 운영하기로 하였다.
✜ 준비
- 1차시에 함수와 관련된 실생활, 응용, 심화문제를 6문제 선별하여 학생들에게 해결하게 하고 각 모둠별 부스를 운영할 학생을 각 모둠별 2명을 정한다. - 부스를 운영하는 학생들은 6문제 중 한 문제를 선택하여 부스를 찾아오는 학생들에게 5분 이내의 설명을 할 수 있도록 준비하게 한다. 2차시가 시작되기 전 학생들에게 확인을 받을 수 있게 한다.
- 2차시에는 모둠별로 8분 정도의 시간 간격을 주고 종을 쳐 학생들이 순환하여 부스를 찾아 자신이 모르는 문제에 대한 설명을 듣게 한다.

(2) 패턴 마니또
자신의 생활 속에서 패턴을 찾았다면 주위를 돌아보며 친구들의 생활 속에서 패턴을 찾아보기로 하였다. 수호천사 마니또 게임에서 아이디어를 얻어 패턴 마니또 게임을 구상하였다.
✜ 준비
- 학생들에게 ‘학교생활에서 나의 고민은 무엇인가요?’라는 질문이 적힌 고민종이를 학생들에게 나누어 주고 작성 하게 한다.
- 작성된 종이는 수합하여 정리하고 다음시간에 고민종이를 학생들이 뽑게 하여 마니또 게임의 짝을 정한다.
- 짝이 정해지면 학생들은 ‘패턴마니또 보고서’를 나누어 주고 1주일 동안 자신의 짝의 고민을 함께하며 실제적인 도움이 될 수 있는 방법을 고민한다. 이때 고민의 원인과 해결책을 친구의 생활 패턴을 통해서 찾아내게 한다. 학생들에게 패턴마니또 보고서 예시를 설명하며 성실하게 작성할 수 있게 한다.

- 1주일이 지난 후 학생들에게 보고서를 받아 분석하고 잘한 학생 3명을 동의하에 발표하게 한다. 발표학생 중 우수학생을 선정한다.

- 마지막으로 짝에게 1주일동안의 관찰, 분석과정에서 느낀 자신의 생각, 평소에 못했던 말들을 편지를 써서 전하게 하였다.

✜ 수업분석, 반성
- 학생들의 보고서를 분석하면서 다양한 방법에 놀랐다. 칠판이 안 보인다는 고민에 그 학생의 수업자리표를 분석하고 자리를 교체해주면 좋겠다고 담임, 교과 교사에게 건의하고 배고프다는 고민에 친구의 등교시간부터 학교활동을 분석하고 간식타이밍을 정해주었다. 또 수업시간에 공부가 안 된다는 고민에는 수업시간별 집중도를 수치로 정해 표시하여 수업태도에 대한 객관적인 자료를 제시하고 조언을 하였다.
- 수학수업에 서로를 생각할 수 있다는 기회를 줄 수 있다고 교과시간에 배운 공식들을 사용한 것은 아니지만 창의적인 해결방법을 논리적으로 표현하는 학생들에게 놀라움을 느꼈다.
8) 지수 1,2,3,4,5,6
지수의 정의, 성질, 계산을 학습하면서 적용해 볼 수 있는 활동을 생각하고 수업에 적용해 보았다.
✜ 준비, 경기 규칙
- 각 모둠별 앞에는 문제, 뒤에는 1~6(답)이 적혀져있는 활동지 2세트를 나누어주고 10분 동안 지수의 계산을 이용하여 답이 정해진 계산문제를 만들게 한다.
- 문제가 만들어지면 교사는 모둠별로 앞으로 나오게 하고 교탁에 1~6이 적혀져있는 카드를 뽑게 한다. 지금부터는 예를 들어 규칙을 설명하겠다. 1모둠이 숫자 2가 적힌 카드를 뽑으면 나머지 모둠(4명)은 4개의 문제를 각자 자기 책상위에 펼쳐 놓는다. 단, 정답이 2인 문제는 한 문제만 올려놓는다. 문제세팅이 끝나면 1모둠은 돌아다니며 각 모둠의 문제 중 정답이 2인 문제를 찾아낸다. 이때 찾아낸 문제가 놓인 책상의 학생을 일으켜 새운다. 주어진 시간이 끝나면 서있는 학생들은 정답공개를 하고 몇 문제나 제대로 선택했는지 확인, 점수를 부여한다.

✜ 수업 분석, 반성
- 학생들이 규칙을 이해하는데 힘들긴 했지만 이해한 후에는 활동이 잘 이루어졌다.
- 답이 정해져있어 마음대로 복잡하게 문제를 만들 수 없었고 너무 간단하게 만들면 다른 모둠에서 쉽게 답을 찾아내니 지수, 로그의 여러 가지 성질을 함께 쓰며 문제를 해결하는데 고민하는 모습이 보여 졌다. 사실 이 활동은 상대의 문제를 풀어 정답을 찾는 활동보다 답이 정해진 문제를 지수, 로그의 성질을 이용하여 만드는데서 데에서 학습이 이루어진다고 볼 수 있다.

5. 정규수업 외 수업

1) 아르키메데스의 위대한 발견
2015년 1월 수학교사 직무연수에서 아르키메데스를 연구하신 교수님의 강의를 들을 기회가 있었다. 그때 아르키메데스가 했던 수학, 과학에 대한 업적들을 알게 되고 ‘아르키메데스(셔먼 스타인)’을 읽게 되었다. 이 책에는 수학이론이 발전하기 이전 수학적 아이디어를 품고 있었고 이는 학생들이 충분히 체험해볼만 할 것 같다는 생각에 창의지성함양프로그램으로 ‘아르키메데스의 위대한 발견’이라는 수업을 계획하였다. 이 수업에서 스토리텔링, 유클리드가 원론을 만든 것처럼 관찰과 실험을 통한 몇 가지 사실들을 통해 지레의 법칙 증명, 지레의 법칙을 통해 다양한 도형의 무게중심과 입체도형의 부피 구하기 등 미적분학을 사용하지 않고 아르키메데스가 했던 방법을 따라 사고실험을 해보았다.

✜ 수업 분석, 반성
- 아르키메데스가 생각한 방법으로 많은 내용들을 해결하는데 재미를 느낀 학생들이 있는 반면 교과 수업과 전혀 상관없는 내용을 왜 배우고 있지? 라는 두 가지 반응이 있었다. 첫 번째 반응에 무게를 두고 수업을 진행하였다.
- 무게중심과 지레의 법칙을 증명할 때 근사한 도구가 있었으면 하는 생각을 하였다. 특히 지레의 법칙을 증명할 때 지우개와 자를 이용하여 증명을 하였는데 다음에는 정밀한 도구를 준비해야겠다는 생각을 하였다.
- 새로운 수업을 만드는 것이 얼마나 많은 주의를 기울여야 하는지 알게 되었다. 우선 관련 선행지식, 내용을 설명하는 방법, 실험 도구의 준비와 실험방법, 학생들의 예상반응 등 예상해야 할 것이 많았다. 하지만 무엇을 만든다는데서 오는 기쁨도 그만큼 컸다.
2) 사제동행 독서토론
(1) ‘시인의 마음으로 들여다본 수학적 상상의 세계 허수’(배리 마주르)
우리 학교는 선생님들과 학생들이 모여 하나의 책을 읽고 함께 생각을 나누는 사제동행 독서토론 모임이 활성화 되어 있다. 수학을 교과서가 아닌 일반교양서적을 통해 허수라는 주제를 조금 더 깊게 살펴보고 싶은 마음에 7명의 학생들과 함께 허수에 관한 책을 읽었다.
✜ 모임방법
- 기본적으로 2주에 1번 모임을 가지고 모임 시 2개 장씩 읽어 발표하기로 하였다. 발표방법은 토론형식, 내용정리식의 프리젠테이션 등 자유스럽게 할 수 있도록 하였다.
- 2명씩 짝을 지어주고 원하는 장을 선택하게 하였고 발표할 때는 자료준비를 충실히 할 수 있도록 하였다.
- 처음 1,2장은 교사가 직접 발표를 하였으며 3,4장부터 학생들이 직접 발표하였다.

✜ 분석, 반성
- 선택한 책이 원래 쉽지 않은 책들이라 학생들이 완벽하게 이해하기 어려웠다. 하지만 자신이 모르는 내용에 대해 발표준비를 하면서 수학에 대해 공부하면서 수학의 새로운 면을 보았을 거라 생각한다.
- 학생들의 프리젠테이션 능력이 훌륭하여 놀랐다. 방법, 내용면에서도 노력한 흔적이 보여 수학 외 적인 부분도 함께 볼 수 있어 좋은 경험이었다.

(2) ‘수학, 생각의 기술(박종하)’
수학을 왜 배우는 지 잘 모르는 학생들에게 수학적으로 생각하는 것만으로도 얼마나 도움이 되는지 알려주기 위해 ‘수학, 생각의 기술(박종하)’라는 책을 선택하여 학생들과 함께 읽었다. 이 책을 통해 퀴즈형식의 문제들과 수학으로 생각하는 것이 무엇인가에 대해 생각해보았다.
✜ 모임방법
- 기본적으로 2주에 1번 모임을 가지고 모임 시 2개 장씩 읽고 가장 재미있었던 문제와 재미있었던 부분을 글들을 모두 발표하며 자유롭게 이야기해보았다.

✜ 분석, 반성
- 수학공식이나 계산이 거의 나오지 않기 때문에 거부감 없이 책을 읽고 이야기 나누는 것을 볼 수 있었다.

6. 되돌아보기

일 년 동안 쉼 없이 뛰어오면서 많은 도전을 하였다. ‘선생님 이거 왜 해요?’, ‘선생님 그냥 수업해요.’라고 하는 학생들의 이야기를 들으며 상처도 많이 받았지만, 수업시간에 신나게 떠들며 수학 이야기를 하는 학생들을 보면서 그간 받았던 서러움을 날려 버릴 수 있었다. 그리고 다양한 수업을 고민하면서 여러 가지 기능이나 요소들을 어떻게 표현하고 연습하고 활동시킬까 생각하며 연극의 연출가처럼 생각하게 되었고 나 자신도 수학에 대한 더 깊은 고민을 하게 되었다. 또한, 수업에서 학생들이 참여하고 활동할수록 수행평가(수업참여, 과제제출)도 더욱 유의미하게 평가할 수 있었고 피드백도 즉각적으로 이루어져 학생들의 성장에 도움을 줄 수 있었다. 실제로 수학에 대한 호기심이 많아지고 성적도 향상된 학생들을 보면서 그 학생들에게 조금이나마 도움이 된 것 같아 교사로서 뿌듯함도 느꼈다. 그리고 학교생활기록부의 기록에서 관찰평가를 통하여 그 동안의 관찰된 내용들을 사실적이고 유의미하게 입력할 수 있었다. 하지만 기초학력이 부족한 학생들의 도전과 좌절을 지켜보면서 교사인 내가 효과적인 해결책을 제시해주지 못한 점은 아직도 마음속 무거운 숙제로 남아있다.
같은 수업지도안을 가지고 수업을 해도 교사와 학생에 따라 수업이 달라진다. 그래서 수업이 어려운 것 같고 자기가 직접 부딪쳐야하는 것 같다. 올해는 많이 깨지고 다듬어지고 있는 것 같다. 수업이 다듬어지면 질수록 학생에게 가까이 다가간다는 느낌이 많이 들었고 교사, 학생 모두 만족하는 수업이 되는 것 같았다. 참여수업, 협동수업, 거꾸로 수업 등 많은 수업모형들의 이름은 다르지만 본질은 같은 것 같다. 학생들에게 조금 더 다가가기 위한 수업이고 학생들의 소리를 듣고자 하는 수업인 것 같다. 2016년에도 귀를 크게 열고 학생들의 소리를 듣겠다는 결심을 해본다.